初中数学：破解难题的方法之一

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解决数学难题可以训练人的思维，而数学难题也是不少同学害怕和讨厌的“怪物”。其实，揭开难题这个“怪物”的神秘面纱，对它深入了解，和它深度交流，你会发现，其实它很简单，也很有意思。

我们首先要了解：难题是怎样设计的？问题的难度是如何增加的？

我们按照难题的设计方式可以把难题分为下列类型：

1.增加复杂度，单一变综合，考察分析能力。 

2.增加抽象度，特殊变一般，考察概括能力。 

3.增加新颖度，熟悉变陌生，考察理解能力。

4.增加可能性，一类变多类，考察思维的缜密性。

5.增加隐蔽性，外显变内隐。考察思维的创造性。

下面我们用实例来分析各类难题的构造原理及解决方法。

第1种类型是各种知识概念、基本图形及数学方法整合到一个问题中，需要我们首先对问题进行分析解构，然后对所学内容进行灵活选择综合运用才能顺利解决。

例1.已知：如图，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，M、N、P、Q分别是BC、CD、DE、BE的中点；

求证：四边形MNPQ是正方形

解决这种问题就是分析、解构、重组的过程：

我们把条件和图形分解为（1）双等腰直角三角形，（2）四边中点组成的四边形。相信同学们都解决过这样的两个问题，如下图。

利用全等三角形判定及性质易证ΔABD≌ΔACE，得BD＝CE且BD⊥CE。

利用中位线定理及平行四边形判定易证当BD＝CE且BD⊥CE时，四边形MNPQ是正方形。

如果你对上面两个基本图形熟悉的话，就会很容易找到作辅助线和证明的方法。一是从双等腰寻找全等三角形，容易想到连接BD、CE，再证明全等；二是从中点四边形找其所在原四边形的对角线，也会想到连接BD、CE，再寻找它们的关系。[关于双等腰模型可以推广为相似变换，参考阅读文章：相似变换之一转成双]

同学们看到复杂的图形和繁多的条件时，不要害怕，其实条件越多，线索越多，把相关的条件进行组合，把杂乱的图形进行分解，然后会发现，它只是几个基本问题的叠加而已。我们只要掌握一些有限的基本问题，就可以解决由它们组合而成的无限多种复杂问题。

例2.在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-2，0），把ΔABO绕点A顺时针旋转120°，得ΔAB'O'，点B、O的对应点为B'、O'，边OB上的一点P旋转后的对应点为P'，当O'P+AP'取得最小值时求点P'的坐标.

（1）由旋转的性质知AP'=AP，O'P+AP'即为O'P+AP，问题即变为何时点P到O'、A的距离之和最短，如下图。

（2）动点P在OB上，求两定点O'、A到动点P的距离之和最短，这是典型的“将军饮马”问题，作A点关于x轴的对称点A'，O'A'与x轴的交点即为所求P点，如下图。

（3）如下图，易求O'（-2√3，6），由ΔA'OP∽ΔA'DO'得OP：DO'=A'O：AD=4：10，即可求得OP=4/5√3=O'P'。

（4）再构造出常用的“K形图”，易求O'M=6/5，P'M=2/5√3，得P'（-8/5√3，36/5）。

本题综合运用了旋转的性质、相似的判定与性质、“K形图”化斜为直构造法、“将军饮马”构造法等知识与方法。

例3.（2017广州中考倒二题）

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，若AB=6cm，BC＝√5 cm.

①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP. 一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以 1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A停止. 当点Q沿上述路线运动到点A所需时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.

第（1）题简单略过。

第（2）题第①问是一个较简单问题，构造直角三角形计算可得sin∠EAD=2/3，如下图。

第（2）题第②问是难点，我们可以分解为这样的几个思考节点：

1.写出时间表达式。最短时间表示为：OP+AP/1.5=OP+2/3AP。

2.转化时间表达式。线段最短一般转化为点到点、点到线、点到圆的路径，2/3AP需要进行转化为点P到某条线的路径，由①问的结果sin∠EAD=2/3联想到P到AD的距离正好是2/3AP，作PG⊥AD，OP+2/3AP=OP+PG，即为求点O到直线AD的最短路径，显然当OP与PG在一条直线上时OP+PG是垂线段最短。[此类问题实质是“将军饮马问题”的变式，有关介绍见文章：高阶思维之本源视角]

3.计算相关数量。求当OG⊥AD时PG、OP的长，此时G为AD的中点，AG=√5/2，由sin∠EAD=2/3知tan∠EAD=2/√5，PG=AG*tan∠EAD=1，AP=1.5，OP=2，最短时间为OP/1+AP/1.5=3 s 。

上面的思考过程中，较为困难的是第2步，需要平时注意积累一些基本的问题模型，并在相关情境中迅速识别、构造这些模型来解决问题。另外本小题的第①问实际上是为第②问作铺垫，如果同学们在解题时在难以下手苦无思路的时候，不妨看一看前面问题所用的方法及所得的结论，想一想它对后面的解题有没有启发和帮助，这样往往会有意想不到的收获。

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来 源 ｜生长数学，转自许兴华数学

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